绝大多数“多元统计”教材讲到多元正态分布时，都有这么一道习题，包括相关的2个证明：
1)、Y是随机变量，X是随机变量，c是常量，设Y=c.X，证明D(Y)=c^2*D(X)
2)、Y是随机变量，x是随机向量，c是常向量，设Y=c'x，证明D(Y)=c'.D(x).c

3)、y是随机向量，x是随机向量，C是常矩阵，设y=C'x，证明D(y)=C'.D(x).C

证明：

利用1)、2)：

     ∵第i个主成分Yi=Vi'.X,这里Vi是D(x)的第i个特征向量
            ∴D(Yi)=Vi'.D(X).Vi
            ∴D(Yi)=Vi'.[D(X).Vi]=Vi'[λi.Vi]，第2个等号的依据是特征向量的定义
            ∴D(Yi)=λi[Vi'.Vi]=λi，第1个等号的依据是提取常系数，第2个等号的依据是Vi是单位向量

     或利用3)：
            主成分y=V'.x，这里V是特征向量排列成的矩阵
           ∴D(y)=V'.D(x).V=Λ，这里Λ是特征值沿着对角线排列成的矩阵

    又Cov(Yi,Xj)=sqrt(λi)*v(ij)

参考书籍：《实用多元统计分析》